Вычисление производных второго порядка

Онлайн вычисление производных


Данный калькулятор по расчету производных онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Вычисление производной от математической функции (дифференцирование) является очень частой задачей при решении высшей математики. Для простых (элементарных) математических функций это является довольно простым делом, поскольку уже давно составлены и легко доступны таблицы производных для элементарных функций. Однако, нахождение производной сложной математической функции не является тривиальной задачей и часто требует значительных усилий и временных затрат.

Наш онлайн сервис позволяет избавиться от бессмысленных долгих вычислений и найти производную онлайн за одно мгновение. Причем воспользовавшись нашим сервисом, расположенным на сайте www.matematikam.ru.


Производная функции


Производной функции y = f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример ). Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z = f(x,y).

то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.

    Решение онлайн Видеоинструкция Также решают
Правила ввода функций. Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( +,-,*,/,^ ). Например, x 2 +xy, записываем как x^2+x*y.

Или, например, найти производную cosx + e sinx+x 3.

Записываем как cos(x)+exp(sin(x)+x^3).

Корень квадратный √¯ ≡ sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2*y^2), e x = exp(x). число π ≡ pi. sin 2 x ≡ sin(x)^2, log5 (x) ≡ log(x,5).

Производные любого порядка


В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x ), скобок, числа пи (pi ), экспоненты (e ), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.

Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p.

Рекомендуем прочесть:  Сколько стоит регистрация дома на участке

Примеры вычисления производных высших порядков явных функций


Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:. Дифференцируя функцию по переменной x.

получаем производную первого порядка, или просто производную:. В результате получаем новую функцию. которая является производной функции.

Дифференцируя эту новую функцию по переменной x.

получаем производную второго порядка:.

Дифференцируя функцию. получаем производную третьего порядка:. И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n -го порядка или n-ю производную:. Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так: ; . Находим производную первого порядка.

Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных :.

Вторая и третья производные


Чтобы найти вторую производную (это тоже самое, что и производная второго порядка), то надо воспользоваться онлайн калькулятором по вычислению производных первого порядка.

  1. В вышеуказанном калькуляторе вводим x*sin(x) — этим самым мы вычисляем производную первого порядка (должно получиться x*cos(x) + sin(x), копируем найденное )
  2. Теперь выполняем аналогичные операции в калькуляторе, но с найденной первой производной, а именно вводим функцию (вставляем из копированного) x*cos(x) + sin(x)
  3. Получаем ответ (но это только наш пример!): 2*cos(x) — x*sin(x)
Чтобы найти производную третьего порядка (тоже самое что и третья производная функции), то надо проделать первые два пункта выше, в третьем же пункте опять подставить в калькулятор.

Производные высших порядков


На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу «энной» производной.

Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции .

Предлагаю сразу же пройти мини-тест: В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности/недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса: Как найти производную? и Производная сложной функции . После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной . на котором мы разобрались, в частности со второй производной .

Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через .

Рекомендуем прочесть:  Льготы на квартиру пенсионерам


WolframAlpha по-русски


Wolfram|Alpha использует для дифференцирования функций несколько различных запросов. Проще всего найти обычную производную функции f(x) в Wolfram|Alpha можно с помощью запроса-префикса d/dx .

Wolfram|Alpha может находить сразу производные нескольких порядков. Как, например, это может понадобиться при отыскании коэффициентов ряда Тейлора.

Для этого используется запрос на табуляцию функции с указанием наименьшего, наибольшего порядка производной, а также шага между ними. Чтобы не загромождать изложение, рассмотрим простой пример на вычисление производных функции cos(x) до 5-го порядка включительно: Конечно, навряд ли можно научиться дифференцировать функции, используя исключительно Wolfram|Alpha.

Вычисление производных второго порядка


Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке Значения производной вообще говоря, зависят от т.

Однако, система Wolfram|Alpha вполне подходит, чтобы проверить свои знания, освежить их, например, перед экзаменом, и убедиться, что вы к нему вполне готовы.
е. проиводная представляет собой тоже функцию от х.
Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается символом у» или Так, например, если то Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр: . В таком случае порядок производной можно писать без скобок.

Например, если то Аналогично выводятся формулы для производных любого порядка и от некоторых других элементарных функций. Читатель сам сможет найти формулы для производных порядка от функций Выведем формулу (так называемую формулу Лейбница)

Треугольный элемент


Каждая координатная компонента для треугольного элемента представляет собой отношение расстояния от выбранной точки до одной из сторон треугольника к высоте, опущенной на ту же сторону. Координаты треугольника обознача­ются через L1,L2 и L3.

Эти три величины не являются независи­мыми, они связаны между собой соотношением Каждому типу треугольных элементов соответствует интерпо­ляционный полином определенного порядка.

Квадратичный тре­угольный элемент, например, содержит шесть узлов (фиг.